Theorem 362 (Landau 230). (x − y) + y = x.
(x − y) + y = y + (x − y) = x.
Subtraction
Theorems 362–371
Each proof shows that the left side satisfies the equation that defines the right side (Theorem 344).
Theorem 363 (Landau 231). (x + y) − y = x.
y + x = x + y.
Theorem 364 (Landau 232). x − (x − y) = y.
(x − y) + y = x.
Theorem 365 (Landau 233). (x − y) − z = x − (y + z).
(y + z) + ((x − y) − z) = (((x − y) − z) + z) + y = (x − y) + y = x.
Theorem 366 (Landau 234). (x + y) − z = x + (y − z).
(x + (y − z)) + z = x + ((y − z) + z) = x + y.
Theorem 367 (Landau 235). (x − y) + z = x − (y − z).
((x − y) + z) + (y − z) = (x − y) + (z + (y − z)) = (x − y) + y = x.
Theorem 368 (Landau 236). (x + z) − (y + z) = x − y.
(x − y) + (y + z) = ((x − y) + y) + z = x + z.
Theorem 369 (Landau 237). (x − y) + (z − u) = (x + z) − (y + u).
((x − y) + (z − u)) + (y + u) = ((x − y) + y) + ((z − u) + u) = x + z, by Theorems 341 and 343.
Theorem 370 (Landau 238). (x − y) − (z − u) = (x + u) − (y + z).
By Theorems 369 and 368, ((x + u) − (y + z)) + (z − u) = ((x + u) + z) − ((y + z) + u) = (x + (u + z)) − (y + (z + u)) = x − y.
Theorem 371 (Landau 239). x − y = z − u if and only if x + u = y + z.
Theorems 345 and 370.